Soient un point \(A\) et un vecteur \(\vec u\)
Montrer qu'il existe un unique point \(B\) tel que \(\overrightarrow{AB}=\vec u\)

$$\overrightarrow{AB}=\vec u\iff \vec B-\vec A=\vec u\iff\vec B=\vec A+\vec u$$ (cela implique aussi l'unicité)

(Vecteur concret)

Montrer qu'on a les équivalences : $$\begin{align}&{{A+\vec u=B}}\\ \iff&{{\forall P,\overrightarrow{PA}+\vec u=\overrightarrow{PB} }}\\ \iff&{{\exists P,\overrightarrow{PA}+\vec u=\overrightarrow{PB} }}\end{align}$$

$$\begin{align} B=A+\vec u\overset{\text{def}}\iff&\vec B=\vec A+\vec u\\ \overset{\exists,\forall-P}\iff&\vec B-\vec P=\vec A+\vec u-\vec P\\ \iff&\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}+\vec u\end{align}$$

Consigne:soit un repère \(\mathcal R=(O,\vec u,\vec v)\) et notons \(\mathcal B:=(\vec u,\vec v)\) la base sous-jacente
Alors montrer que pour tout point \(P(x_P,y_P)_\mathcal R\) et tout vecteur \(\vec w(x_w,y_w)_\mathcal B\), nous avons la relation : $${{P+\vec w}}=({{x_P+x_w}},{{y_P+y_w}})_\mathcal R$$

On a : $$\begin{align} P(x_P,y_P)_\mathcal R&=O+x_P\vec u+y_P\vec v\\ \vec w(x_w,y_w)_\mathcal B&=x_w\vec u+y_w\vec v\end{align}$$

Donc $$\begin{align} P+\vec w&=O+(x_P+x_w)\vec u+(y_P+y_w)\vec v\\ &=(x_P+x_w,y_P+y_w)_\mathcal R\end{align}$$

(Coordonnées)